En este caso tenemos dos funciones involucradas:

$f(x)=\ln \left(\frac{1}{2} x-5\right)$

$g(x) = 0$

y además nos imponen los límites de integración $x=11$ y $x=16$

Veamos primero si encontramos algún punto de intersección entre $f$ y el eje $x$ entre $11$ y $16$. 

$ \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) = 0 $ Aplicamos la exponencial $e$ en ambos miembros, nos queda:

$ \frac{1}{2} x - 5 = e^0 $ 

$ \frac{1}{2} x - 5 = 1 $

$ \frac{1}{2} x = 6 $

$ x = 12 $

Nos armamos ahora la integral del área:

$ A = \int_{11}^{12} (0 - \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right)) \, dx + \int_{12}^{16} (\ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) - 0) \, dx $

$ A = -\int_{11}^{12} \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx + \int_{12}^{16} \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx $

Para resolver esta integral fijate que necesitamos tener la primitiva de

$\int \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx$

Entonces vamos a arrancar resolviendo esta integral indefinida. Primero podemos arrancar tomando la sustitución

$ u = \frac{1}{2} x - 5 $

$ du = \frac{1}{2} dx $

$ dx = 2 \, du $

Escribimos la integral en términos de $u$

$ \int \ln\left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx = \int \ln(u) \cdot 2 \, du = 2 \int \ln(u) \, du$

Usando esto, nos queda que:

$ 2 \int \ln(u) \, du = 2 \left( u \cdot \ln(u) - u \right) + C $

Ahora volvemos a la variable original $x$

$ 2 \left( u \cdot \ln(u) - u \right) = 2 \left( \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \cdot \ln\left(\frac{1}{2} x - 5\right) - \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \right) $

Distribuimos el $2$

$ = 2 \left( \frac{1}{2} x - 5 \right) \cdot \ln\left( \frac{1}{2} x - 5 \right) - 2 \left( \frac{1}{2} x - 5 \right) = \left( x - 10 \right) \cdot \ln\left( \frac{1}{2} x - 5 \right) - \left( x - 10 \right)$

Entonces, tenemos que la primitiva es:

$\int \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx = \left( x - 10 \right) \cdot \ln\left( \frac{1}{2} x - 5 \right) - x  + 10 $

Volvemos entonces a nuestra integral del área:

$ A = -\int_{11}^{12} \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx + \int_{12}^{16} \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx $

Resolvemos cada integral por separado y después sumamos los resultados:

$-\int_{11}^{12} \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx = -\left( x - 10 \right) \cdot \ln\left( \frac{1}{2} x - 5 \right) + x  - 10 \Big|_{11}^{12} $

Atención ahí cómo cambié el signo de cada término de la primitiva, por el $-$ que teníamos adelante. Estas primitivas son muy muy cuentosas y hay altas chances de error. Todo esto ya lo charlamos en las clases, pero lo repito acá, si llegaste bien a plantear esto y sólo hay un error de cuenta, no te van a poner el ejercicio mal. Hace despacito estas cuentas, yo te dejo acá el resultado al que deberías haber llegado:

$-\left( x - 10 \right) \cdot \ln\left( \frac{1}{2} x - 5 \right) + x  - 10 \Big|_{11}^{12} = 1 - \ln(2) \approx 0.30... $

$\int_{12}^{16} \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx = \left( x - 10 \right) \cdot \ln\left( \frac{1}{2} x - 5 \right)  - x  + 10 \Big|_{12}^{16} $

Este resultado ya es un choclazo, si lo ponés en la calculadora es $\approx 2.59...$

Sumamos ahora ambos resultados y obtenemos que:

$ A = -\int_{11}^{12} \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx + \int_{12}^{16} \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx \approx 2.89... $

Aclaración anti-estrés: Preparate porque los ejercicios de esta práctica son bastante cuentosos en la parte final, cuando aplicas Barrow. Los ejercicios de parcial no tienden a ser así. Es muy probable que la primera vez que hagas ese Barrow no llegues al resultado correcto, porque hay muchas chances de error con algún signo o en alguna cuenta. Tranqui, yo no me enroscaría con eso y, si entendiste todo el procedimiento y hasta plantear el Barrow llegaste bien, segui avanzando :)