Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 10: Aplicaciones de la Integral

Anterior Siguiente

5. Calcule el área de la región comprendida entre el eje xx y el gráfico de f(x)=ln⁡(12x−5)f(x)=\ln \left(\frac{1}{2} x-5\right) para 11≤x≤1611 \leq x \leq 16.

Respuesta

A partir de este ejercicio ya tenemos todos problemas típicos de parcial 🙃

En este caso tenemos dos funciones involucradas:

f(x)=ln⁡(12x−5)f(x)=\ln \left(\frac{1}{2} x-5\right)

g(x)=0g(x) = 0

y además nos imponen los límites de integración x=11x=11 y x=16x=16

Veamos primero si encontramos algún punto de intersección entre ff y el eje xx entre 1111 y 1616. 

ln⁡(12x−5)=0 \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) = 0 Aplicamos la exponencial ee en ambos miembros, nos queda:

12x−5=e0 \frac{1}{2} x - 5 = e^0  
12x−5=1 \frac{1}{2} x - 5 = 1
12x=6 \frac{1}{2} x = 6
x=12 x = 12

Entonces, el punto de intersección es x=12 x = 12 . Los intervalos que nos quedaron delimitados para evaluar techo y piso son entonces: [11,12)[11, 12) y (12,16](12,16]

Si evaluas con algún número dentro de cada intervalo, vas a llegar a que:

En el intervalo (11,12)(11, 12) -> El eje xx es techo y ff es piso

En el intervalo (12,16)(12,16) -> La función ff es techo y el eje xx es piso

Nos armamos ahora la integral del área:

A=∫1112(0−ln⁡(12x−5)) dx+∫1216(ln⁡(12x−5)−0) dx A = \int_{11}^{12} (0 - \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right)) \, dx + \int_{12}^{16} (\ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) - 0) \, dx

A=−∫1112ln⁡(12x−5) dx+∫1216ln⁡(12x−5) dx A = -\int_{11}^{12} \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx + \int_{12}^{16} \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx

Para resolver esta integral fijate que necesitamos tener la primitiva de

∫ ln⁡(12x−5) dx\int \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx

Entonces vamos a arrancar resolviendo esta integral indefinida. Primero podemos arrancar tomando la sustitución

u=12x−5 u = \frac{1}{2} x - 5
du=12dx du = \frac{1}{2} dx
dx=2 du dx = 2 \, du

Escribimos la integral en términos de uu

∫ln⁡(12x−5) dx=∫ln⁡(u)⋅2 du=2 ∫ln⁡(u) du \int \ln\left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx = \int \ln(u) \cdot 2 \, du = 2 \int \ln(u) \, du

La integral ∫ln⁡(x) dx\int \ln(x) \, dx ya la resolvimos varias veces, y de hecho también la hicimos por primera vez en la clase "Integrales que salen por partes usando algún truquito". Porfa, si hay dudas en cómo se resolvía (sale por partes) revisá de nuevo esa clase. Habíamos llegado a que el resultado es

∫ln⁡(x) dx=x⋅ln⁡(x)−x\int \ln(x) \, dx = x \cdot \ln(x) - x

Usando esto, nos queda que:

2∫ln⁡(u) du=2(u⋅ln⁡(u)−u)+C 2 \int \ln(u) \, du = 2 \left( u \cdot \ln(u) - u \right) + C

Ahora volvemos a la variable original xx

2(u⋅ln⁡(u)−u)=2((12x−5)⋅ln⁡(12x−5)−(12x−5)) 2 \left( u \cdot \ln(u) - u \right) = 2 \left( \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \cdot \ln\left(\frac{1}{2} x - 5\right) - \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \right)

Distribuimos el 22

=2(12x−5)⋅ln⁡(12x−5)−2(12x−5)= (x−10)⋅ln⁡(12x−5)−(x−10) = 2 \left( \frac{1}{2} x - 5 \right) \cdot \ln\left( \frac{1}{2} x - 5 \right) - 2 \left( \frac{1}{2} x - 5 \right) = \left( x - 10 \right) \cdot \ln\left( \frac{1}{2} x - 5 \right) - \left( x - 10 \right)

Entonces, tenemos que la primitiva es:

∫ ln⁡(12x−5) dx= (x−10)⋅ln⁡(12x−5)−x +10\int \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx = \left( x - 10 \right) \cdot \ln\left( \frac{1}{2} x - 5 \right) - x  + 10

Volvemos entonces a nuestra integral del área:

A=−∫1112ln⁡(12x−5) dx+∫1216ln⁡(12x−5) dx A = -\int_{11}^{12} \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx + \int_{12}^{16} \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx

Resolvemos cada integral por separado y después sumamos los resultados:

Integral 1

−∫1112ln⁡(12x−5) dx=−(x−10)⋅ln⁡(12x−5)+x −10∣1112-\int_{11}^{12} \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx = -\left( x - 10 \right) \cdot \ln\left( \frac{1}{2} x - 5 \right) + x  - 10 \Big|_{11}^{12}

Atención ahí cómo cambié el signo de cada término de la primitiva, por el −- que teníamos adelante. Estas primitivas son muy muy cuentosas y hay altas chances de error. Todo esto ya lo charlamos en las clases, pero lo repito acá, si llegaste bien a plantear esto y sólo hay un error de cuenta, no te van a poner el ejercicio mal. Hace despacito estas cuentas, yo te dejo acá el resultado al que deberías haber llegado:

−(x−10)⋅ln⁡(12x−5)+x −10∣1112=1−ln⁡(2)≈0.30...-\left( x - 10 \right) \cdot \ln\left( \frac{1}{2} x - 5 \right) + x  - 10 \Big|_{11}^{12} = 1 - \ln(2) \approx 0.30...

Integral 2

∫1216ln⁡(12x−5) dx=(x−10)⋅ln⁡(12x−5) −x +10∣1216\int_{12}^{16} \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx = \left( x - 10 \right) \cdot \ln\left( \frac{1}{2} x - 5 \right)  - x  + 10 \Big|_{12}^{16}

Este resultado ya es un choclazo, si lo ponés en la calculadora es ≈2.59...\approx 2.59...

Sumamos ahora ambos resultados y obtenemos que:

A=−∫1112ln⁡(12x−5) dx+∫1216ln⁡(12x−5) dx≈2.89... A = -\int_{11}^{12} \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx + \int_{12}^{16} \ln \left(\frac{1}{2} x - 5\right) \, dx \approx 2.89...

Aclaración anti-estrés: Preparate porque los ejercicios de esta práctica son bastante cuentosos en la parte final, cuando aplicas Barrow. Los ejercicios de parcial no tienden a ser así. Es muy probable que la primera vez que hagas ese Barrow no llegues al resultado correcto, porque hay muchas chances de error con algún signo o en alguna cuenta. Tranqui, yo no me enroscaría con eso y, si entendiste todo el procedimiento y hasta plantear el Barrow llegaste bien, segui avanzando :)
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.
Dante
24 de junio 19:11
Porque en la primer integral queda ln(2) y no ln(0.5)?
0 Responder
Flor
PROFE
25 de junio 9:34
@Dante Hola Dante! Buena pregunta! Si lo dejabas como ln⁡(0.5)\ln(0.5) estaba bien también, la diferencia es que te iba a cambiar el signo... o sea te tuvo que haber quedado +ln⁡(0.5)+\ln(0.5), no? Es exactamente lo mismo, y cuando escribias el número aproximado en la calculadora deberías estar llegando al mismo resultado... acá te lo escribí más claro en la tablet:

2024-06-25%2009:33:06_6299000.png

O sea, si vos dejabas el resultado 1+ln⁡(0.5)1 + \ln(0.5) estaba bien también, son dos maneras distintas de escribir el mismo número
0 Responder
Benjamin
18 de junio 8:56
la integral 1 no da 2?? la revise muchas veces y juraria que da eso jajaj, 
0 Responder
Benjamin
18 de junio 8:57
en una parte queda ln(0), eso que onda no da error ? o como estaba el 0 atras multiplicandolo no pasa nada ? todo esto en la integral 1, cuando evaluamos en x=10
0 Responder
Flor
PROFE
18 de junio 11:28
@Benjamin Hola Benja! La acabo de chequear en Wolfram y me sigue dando lo mismo! 


Me parece que te confundiste al evaluar, fijate que en ningún momento evaluamos en x=10x=10, es entre 1111 y 1212. 
0 Responder